素数在数论中经常被用到。也是数论的基础之一。

人们一直在讨论的问题是，怎样快速找到素数？或者判断一个数是素数？

1.根号n枚举

原始暴力方法。

2.埃氏筛

每个合数会被筛质因子次数次。复杂度O(NloglogN)

3.线性筛素数

每个合数只会被它的最小质因子筛一次。

线性筛还可以筛各种函数

具体见：

4.Miller_Rabin

利用：二次探测，费马小定理。

二测探测：

若P是质数，那么若x^2=1 mod P,则，x=1或者P-1

证明：即x^2-1 = 0 mod P,P|(x-1)*(x+1)

由于P是质数，所以一定是在(x-1)或者(x+1)里面存在P的质因子。

所以，有P|(x-1)或者P|(x+1)，所以，x=1,或者，x=-1=P-1

如果有x^2=1 mod P，但是不满足x=1或者x=P-1，那么这个P一定不是素数。

 

费马小定理：

对于质数P，任意整数a(a!=P) 都有，a^(P-1)=1 mod P

这个也可以作为质数的判定条件。存在一个a不满足P一定也不是质数，。

 

把这两个结合起来，就可以进行Miller_Robin算法了。

 

具体地：

1.传入一个数n，lp=n-1

再传入一个随机数a，但是一般是质数，如2,3,5,7,61,等等

2.把lp中的所有质因子2都提出来，提出来之后的数设为d，s记录2的次数。

3.令$t=a^d mod n$，如果t==1或者t==n-1那么返回true

因为，再把s都乘回去的时候，一定会得到$a^{n-1}=1 mod n$

其实s为0，也可以直接返回false，因为n一定就是一个偶数了。

4.然后不断把s往回乘，其实是平方，因为d在指数的位置。

记录平方之前的数las，之后，如果t==1而las!=1并且las!=n-1那么就返回false

（根据二次探测）

5.s乘完后，如果n是质数，那么t=1，（根据费马小定理）。否则返回false

6.是true的话，返回1多试几次。

7.输出结果。

 据说试1次，误判概率为1/4，那么试4次误判的概率就是1/(4^4)很小了。

 

模板：

luoguP3383（用Miller_Rabin过线性筛）

 

#include
     
      using namespace std;typedef long long ll;const int N=100000+5;int a[3]={
    2,7,61};ll qm(ll x,ll y,ll mod){    ll ret=1;    while(y){        if(y&1) (ret*=x)%=mod;        (x*=x)%=mod;        y>>=1;    }    return ret;}bool che(ll a,ll x){    int s=0;    ll t;    ll lp=x-1;    while(!(lp&1)){        s++;        lp>>=1;    }    t=qm(a,lp,x);    if(t==1||t==x-1) return true;    if(s==0) return false;    ll las=t;    for(int i=0;i